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 佩雷尔曼与庞加莱猜想 （超长，建议在失眠时阅读） |
pw123
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加入时间: 2007/08/28
文章: 1187
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佩雷尔曼与庞加莱猜想 （超长，建议在失眠时阅读）
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作者：pw123 在 海归茶馆 发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com
千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems), 又称世界七大数学难题， 是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24日公布的数学难题：
1． 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
2． 霍奇猜想
3． 纳维-斯托克斯公式
4． P/NP问题
5． 庞加莱猜想
6． 黎曼假设
7． 杨-米尔斯理论
有兴趣的可以去看看：https://baike.baidu.com/view/930416.htm
佩雷尔曼（Grigori Perelman）证明了庞加莱猜想，但没有领奖，他的说法是，他的证明只是建立在前人的成果之上，所以他不配单独享受这笔奖金。这个世界上还是有很纯粹的人。
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(转载：CSSCI学术论文网, 作者：汤双)
二○○○年,美国克 雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)邀集了世界上 的一些顶级数学家,共同拟定出七个对二十一世纪的数学发展具有重大意义的难题(千禧年大奖难题),并为每个难题的解决设定了一百万美元的奖金。庞加莱猜想 是这七个难题之一,也是迄今为止其中唯一得到解答的问题。
庞加莱猜想在拓扑学中占有举足轻重的地位。什么是拓扑学?简单地说,拓扑学就是研究有形的物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变的学问。比如,把面 团揉成一个圆球(其表面叫做球面),或压扁成一个烧饼,或拉成一根面条,它们的几何形状是完全不一样的,可它们的拓扑性质却相同(拓扑等价)。但如果在烧 饼上挖个洞,变成一个甜甜圈(其表面叫做环面),则拓扑性质就变了。为了研究高维空间中曲面之间拓扑性质的异同,庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912,法国数学家)在一九○四年提出了他著名的猜想,这个猜想最初是关于四维空间中的三维曲面的(我们生活在 三维空间,皮球或甜甜圈的表面则是二维曲面),后来被推广到更高维空间中的曲面。非专业人士很难明白庞加莱猜想到底说的是什么,不过我们可以在三维空间中 做一个粗略的类比,这样也能大概了解一点它的意思:如果在球面(或任何与球面拓扑等价的曲面)上任意画一个封闭的圈,然后让这个圈不断缩小,它最终一定会 缩成一个点。直观上很容易看出,不管是圆球还是烧饼,在其表面上画一个封闭的圈,令其不断缩小,它显然会缩到一个点。但如果围着甜甜圈的洞画一个封闭的 圈,由于洞的存在,这个圈是缩不到一个点的。因而我们说球面和环面具有不同的拓扑性质。
庞加莱猜想在直观上看起来似乎一目了然,但在数学上要证明它却难上加难。法国数学大师阿兰•科纳(Alain Connes)在提到包括庞加莱猜想在内的七大千禧年难题时说:“正是这些极为困难的难题让数学更具价值,它们就像是数学领域里的珠穆朗玛峰或喜马拉雅 山,到达顶峰是极难的——为此我们甚至可能付出一生的代价。但是一旦登上顶峰,看到的景色则将奇妙无比。”
从一九○四年庞加莱猜想提出后,在将近一百年的时间里,有很多顶尖的数学家在其上倾注了无数心血。直到二○○二年十一月至二○○三年七月,俄国数学家 格里戈里•佩雷尔曼(Grigori Perelman)在互联网上连续发表了三篇论文预印本,才最终给出了完整的证明。二○○六年,数学界最终确认佩雷尔 曼的证明解决了庞加莱猜想。同年,第二十五届国际数学家大会决定将菲尔兹奖(这个 奖通常被认为是数学界的诺贝尔奖)授予佩雷尔曼,但佩雷尔曼拒绝接受该奖,也拒绝出席大会。单凭拒领菲尔兹奖这一点,就可以说佩雷尔曼是个大怪人。但他的 怪还远远不止于此。自从他在互联网上发表了那三篇论文,很多世界顶尖大学(例如普林斯顿大 学、麻省理工学院、斯坦福大学等等)为他提供对常人来说极具吸引力的职位,希望他能去工作,而他或者粗鲁地加以拒绝,或者根本不予理睬。二○○五年底,不 知由于什么原因,他又突然辞掉了在俄国斯捷克洛夫(Steklov)数学研究所的工作。之后住在他母亲位于圣彼得堡的公寓里,两人以他母亲的退休金和他在 美国做博士后时积攒下的一点钱为生,过着一种与世隔绝的生活。他不但从学术界消失,而且从社会上消失了。有人曾试图打电话给他,得到的回答竟是“佩雷尔曼 已经死了”。至于那一百万美元的千禧年大奖,佩雷尔曼也曾宣称不会接受。
说起决定颁发千禧年大奖给佩雷尔曼,还有个小小的插曲。本来获奖资格的规定中有一条:难题的解答必须发表在相关的学术刊物上。佩雷尔曼的三篇论文只在 互联网上发表过,而从没刊载于任何数学期刊。更有甚 者,他还拒绝审阅任何解释、补充他的想法的论文。不过经慎重研究后,评审委员会最终还是决定佩雷尔曼有资格获奖。千禧年大奖的颁奖大会定于二○一○年六月 召开。据美联社三月二十九日的消息,佩雷尔曼对是否接受该奖似乎有所松动,他中学时期的数学老师谢尔盖•儒克辛(Sergei Rukshin)透露,佩雷尔曼目前尚未最后决定是否要去领奖。这一百万美元奖金能不能给出去,谜底最终将在六月揭晓。
佩雷尔曼为什么能攻克庞加莱猜想这一难题,又为什么会在行为上如此异于常人?最近俄国女作家玛莎•格森 (Masha Gessen)专门写了一本书《完美的严格》(Perfect Rigor)来探讨这些问题。格森在青少年时期有着与佩雷尔曼颇为相似的生活环境, 她不仅和佩雷尔曼一样是犹太裔,并且都是从小在数学俱乐部(相当于我们的奥数训练中心)里受训的 数学才子、才女。这无疑为她研究佩雷尔曼提供了比较有利的条件。她采访了许多与佩雷尔曼有过接触的人,试图以“农村包围城市” 的办法对他进行全面的了解。在她的书里有不少很有意思的故事。
一般来讲数学家的思维方式分成两大类:代数型与几何型。在面对数学问题时,代数型的人往往将问题转化成数字或方程式来进行思考,而几何型的人则把问题 转化成图形来进行思考。有意思的是,通过采访佩雷尔曼的众多同学,格森发现他似乎是个异类。与佩雷尔曼同窗长达十年的戈诺瓦洛夫(Golovanov)是 典型的代数型, 他很肯定地说佩雷尔曼是几何型的,理由是佩雷尔曼解一道几何题所用的时间仅够他看明白这道题说的是什么。而几何型的苏达科夫(Sudakov)却一口咬定 佩雷尔曼是代数型的,因为在他们共同训练和比赛的六年多里,两人对同一数学问题的思考过程及解决方法几乎毫无共同之处。总之,佩雷尔曼的思维方式对很多人 而言都是一个谜。面对一道道难题,他通常连纸笔都不用,整个运算全在脑子里进行,然后将答案准确无误地写出来,就像一台解题机器。
佩雷尔曼从小在解数学题时就追求完美和严格,有时候甚至显得有些迂。在全国数学奥林匹克选拔赛(前六名可获得代表苏联参加国际数学奥林匹克大赛的资 格)上,每名参赛者先拿到一道题,做完后需举手示意,然后会被带到另一间屋子里向两位教授解释他的答案,如果正确,就能拿到下一题,否则只能继续做原来的 题。佩雷尔曼在解释了他的一道题之后,教授们表示答案正确,让他回去做下一题,可他居然揪住教授的衣服不放,说这道题还有其他三个解,非要教授们听他讲完 另外的解不可!参加过数学比赛的人都知道,多几分钟往往就可能决定胜负,而佩雷尔曼显然认为完美和严格比胜负更重要。
在苏联,犹太人一直遭遇某种程度的歧视,特别是在升学与就业等方面经常受到不公平的对待。例如著名的列宁格勒大学数学力学系就规定每年只能录取两名犹 太裔学生,甚至有的人只因名字像犹太人而被拒之门外。佩雷尔曼虽然是犹太人,但在他成长的过程中却从未感受到这类歧视。几位对他的数学天赋极为赏识的老师 努力为他搭建了一层保护网,使他不必直接面对社会的丑恶,并能充分自由地 发展其数学才能。
佩雷尔曼在取得博士学位时就已经崭露头角,发表了一系列高水平的论文。在格罗莫夫的推荐下,他又去美国纽约大学和纽约州立大学石溪分校进行了一年多的博士后研究。这期间,他在研究亚历山德罗夫空间方面取得了突破性的进展,从而成为数学界的一颗新星。一九九五年佩雷尔曼返回俄国。由于苏联解体,那时的斯捷克洛夫数学研究所已经陷于半瘫痪状态,工资少得可怜,研究人员很少去上班,想干什么就可以干什么。佩雷尔曼却正好得其所哉,他终于可以摆脱掉所有以前不得不面对的干扰——比赛、考试、论文、教课,从而全身心地投入到数学王国之中。从一九九五到二○○二这七年间,没人知道也没人过问他在干什么,直到他突然在互联网上发表了那三篇震惊数学界的文章。由于圈内人都知道他在数学问题上从不犯错,文章立即引起了同行们的高度重视。美国麻省理工学院和纽约州立大学石溪分校马上邀请他到两校各办两星期的讲习班,专门研讨那篇文章。在美国期间,许多著名大学许诺给他极为优厚的待遇,希望能把他挖过去,可他均不屑一顾。回俄国后,他依旧独往独来。直到二○○五年十二月的一天,他走进所长办公室,很平静地说:“我对这里的人并不反感,不过也没有朋友。总之,我对数学感到失望,想去做点别的事情。我辞职了。”没人确切知道是什么原因使他“对数学感到失望”。可能是攀上高峰后对数学感到了厌倦?抑或是对数学界中显现出的商业气息越来越无法接受?还是像格森推断的那样——他可能患有亚斯伯格症(一种没有智能障碍的自闭症)?反正他与数学(实际上也与整个社会)分道扬镳了
佩雷尔曼的故事也让我想起上大学时几个颇有天赋的同学。其一是我刚进中国科技大学七八级时 同班的××,他当时是少年班出来的年龄最小的学生、全国闻名的“神童”。可大学毕业后一直不顺,听说几年前出家当了和尚。另一位是我跳级到七七级之后一直 很要好的同班同学,也是出自少年班。他一九八一年考上科学院理论物理所研究生,却处不好与导师的关系。后来到美国一所大学读书,可能是觉得怀才不遇,心情不好,以致患了 臆病,最后连学业也无法顺利完成。佩雷尔曼和我的这些同学,在现实生活中,他们的命运,大概都属于天才的悲剧,不同之处仅在成名与否而已。
生为“神童”、天才,幸耶?不幸耶?真是难说得很。
作者：pw123 在 海归茶馆 发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com
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木辛
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1900年（希尔伯特提出）23个数学难题和2000年的21世纪世界7大数学难题
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作者：木辛 在 海归茶馆 发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com
上中学时，一位数学前辈介绍了数论中的哥德巴赫猜想，提到了陈景润的工作。一开始，他就从希尔伯特在1900年提出的23个世界数学难题讲起。110年过去了，那23个难题为20世纪的数学发展带来巨大的影响。因为这些年对纯数学不太关心了，所以居然没有听说过2000年提出的21世纪世界7大数学难题。希望这7道难题会为本世纪的数学带来新的突破。
其中，杨-米尔斯场，我是在复旦时听杨振宁作报告时第一次听说的。
纳维尔-斯托克斯方程是流体力学的经典方程，也是理工科人士非常熟悉的。希望在新世纪能得到圆满的解答。
庞加莱名字还不陌生，其他几个问题就完全不了解了。
关于希尔伯特的23个数学问题和本世纪的7大树下颚问题，在网上查了一下，顺便贴在这里。
希尔伯特数学问题
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert's Mathematical Problems﹞。内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。
这23个问题是：
1. 连续统假设。
2. 算术公理体系的兼容性。
3. 只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。
4. 直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5. 拓扑群成为李群的条件。
6. 物理学各分支的公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。
8. 素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9. 一般互反律的证明。
10. 丢番图方程可解性的判别。
11. 一般代数数域的二次型论。
12. 类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理域。
13. 不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14. 证明某类完全函数系的有限性。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。
16. 代数曲线与曲面的拓扑研究。
17. 正定形式的平方表示式。
18. 由全等多面体构造空间。
19. 正则变分问题的解是否一定解析。
20. 一般边值问题。
21. 具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
22. 用自守函数将解析函数单值化。
23. 发展变分学的方法。
希尔伯特数学问题的简述：
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题
1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性
欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
（3）两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是：存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
（4）两点间以直线为距离最短线问题
此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
（5）一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的
这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都一定是李群。中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
（7）某些数的无理性与超越性证明
1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。
（8）素数分布问题
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明
该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
（10）丢番图方程的可解性
能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。
（11）系数为任意代数数的二次型
H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
（12）将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去
这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性
七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
（14）某类完备函数系的有限性的证明
这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
（15）舒伯特计数演算的严格基础
一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
（16）代数曲线和代数曲线面的拓扑问题
这个问题分为两部分。前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间
德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach，1910），莱因哈特（Reinhart，1928）作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数
对这一问题的研究很少。德国数学家伯恩斯坦（C·H·Bernrtein，1929）和苏联数学家彼得罗夫斯基（1939）等得出了一些结果。
（20）一般边值问题
这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。
（22）由自守函数构成的解析函数的单值化
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究
这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
千年大奖问题——面向新世纪的7大数学难题
2009-12-1 11:42:50【字体大小：大 中 小】
20世纪是数学大发展的世纪。数学的许多重大难题得到完满解决， 如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。
计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫. 希尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向， 其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。
效法希尔伯特， 许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题， 希冀为新世纪数学的发展指明方向。 这些数学家知名度是高的， 但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。
2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个"千年大奖问题"， 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个"千年大奖问题"的解决都可获得百万美元的奖励。克雷数学所"千年大奖问题"的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向， 而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
2000年5月24日， 千年数学会议在著名的法兰西学院举行。 会上，98年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以"数学的重要性"为题作了演讲， 其后，塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个"千年大奖问题"。 克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对"千年大奖问题"的解决与获奖作了严格规定。 每一个"千年大奖问题"获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。
这七个"千年大奖问题"是： NP 完全问题， 郝治（Hodge） 猜想， 庞加莱（Poincare） 猜想， 黎曼（Rieman ）假设，杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程， BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。
"千年大奖问题"公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究"千年大奖问题"已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期， "千年大奖问题" 将会改变新世纪数学发展的历史进程。(北京大学数学学院院长 张继平)
21世纪七大数学难题 - 基本资料
何谓“七大世纪数学难题”。以下是这七个难题的简单介绍。
“难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
“难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
“难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
“难题”之四： 黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克” 的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
“难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
作者：木辛 在 海归茶馆 发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com
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Happy New Year!
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感谢加星,一位是大师,一位是美女.祝新年快乐.木大师应该是理科大拿吧.
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我是理科,入错行了好像,不是那个料
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